Klein Şişesi
Topoloji’de ilginç geometrilere sahip şekillerle uğraşıldığını daha önce Möbius Şeridi hakkında detayları aktardığımız yazımızda belirtmiştik. Topolojinin konusu olan diğer ilginç bir nesne Klein Şişesi, 1882 yılında Felix Klein tarafından keşfedilmiştir. Günlük hayatta herhangi bir işleve sahip olmasa da matematik için önemlidir. Yani sürahi olarak pek bir işinize yaramaz. Su doldurmaya çalıştığınızda koyduğunuz yerden geri döküldüğünü görürsünüz.
Klein Şişesi tek bir ağızdan oluşmaktadır. Kapalı bir yüzey olması sebebiyle sadece dış yüzeyi vardır. Yani iç yüzeyi ve dış yüzeyi aynıdır. Sınırladığı bir alan olmadığından herhangi bir hacmi de yoktur. Tek ağzı bulunduğundan içine dökülen bir sıvı, aynı ağızdan dışarıya dökülecektir. Şişenin ağzı, kendi gövdesini delerek içine doğru giren, oradan da şişenin dibine doğru açılan boyun sayesinde oluşur. Bununla birlikte Klein Şişesi’ni anlamak için Möbius Şeridi’ni iyice kavramak gerektiğini belirtelim.
Möbius Şeridi ve Klein Şişesi Arasındaki İlişki
Möbius Şeridi 3 boyutta gösterilebiliyorken Klein Şişesi 4 boyutta gösterilmektedir. Yani Klein Şişesi’nin 3 boyutlu Öklid uzayına gömülmesi mümkün değildir. Bunun için 4 boyutlu bir gösterim gereklidir. Eğer 3 boyutlu Öklid uzayında göstermek istersek şişenin bir kulbu varmış gibi gözükür ve bu kulp şişeye temas ederek içinden geçer. Yani her yerde fotoğrafını görebileceğimiz, el ile yapılmış, somut olarak dokunabileceğimiz Klein Şişeleri 3 boyutludur. 4 boyutlu uzay sisteminde ise boyun bölgesi olarak tabir edilen yerdeki kesişme yoktur. Bunu da denklemlerle, şişenin farklı formlarında göstermek mümkün. Örneğin Klein Şişesi’nin 8 formu, 8 rakamının sabit bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilir ve aşağıdaki parametrelerle gösterilir.
Möbius Şeridi, dikdörtgen biçimindeki şeridin bir ucunu 180 derece ters olacak şekilde çevirip her iki ucu birleştirerek elde ediliyor. Klein Şişesi ise bir silindire aynı işlem uygulanarak elde edilmektedir. Bu geometrileri incelediğimizde, yönlendirilebilirlik ve tek taraflı yüzey kavramının önemi ortaya çıkar. Doğada bulunan çoğu yüzey iki taraflıdır. Bu nedenle Möbius tarafından bulunan tek taraflı yüzeyin soyut bir matematiksel yapı olduğu söylenir. Aşağıdaki görselde Klein Şişesi’ndeki Möbius Şeridi boyunca normal vektörler çizilerek tek taraflı yüzey kavramı vurgulanmıştır.
Görselde de görüldüğü gibi Klein Şişesi ikiye bölündüğünde iki adet Möbius Şeridi ortaya çıkmaktadır. Yani Klein Şişesi’nin somut hali, 2 adet Möbius Şeridi’nin bağlanmasıyla oluşan 3 boyutlu bir Möbius Şeridi’dir.
