Klein Şişesi

Topoloji’de ilginç geometrilere sahip şekillerle uğraşıldığını daha önce Möbius Şeridi hakkında detayları aktardığımız yazımızda belirtmiştik. Topolojinin konusu olan bir diğer nesne Klein Şişesi ise 1882 yılında Alman matematikçi Felix Klein tarafından keşfedilmiştir. Günlük hayatta herhangi bir işleve sahip olmasa da matematik açısından topolojik yüzeylerin anlaşılması adına önemlidir. Yani sürahi olarak pek bir işinize yaramaz. Çünkü su doldurmaya çalıştığınızda koyduğunuz yerden geri döküldüğünü görürsünüz.

Klein Şişesi tek bir ağızdan oluşmaktadır. Kapalı bir yüzey olması sebebiyle sadece dış yüzeyi vardır. Yani iç yüzeyi ve dış yüzeyi aynıdır. Sınırladığı bir alan olmadığından herhangi bir hacmi de yoktur. Tek ağzı bulunduğundan içine dökülen bir sıvı, aynı ağızdan dışarıya dökülecektir. Bu yapıyı düzgünce oluşturmak için 4 boyutlu bir uzay gerekir. Çünkü 3 boyutlu uzayda, Klein Şişesi kendisiyle kesişmeden yapılamaz. Gerçek hayatta camdan yapılan dekoratif modellerini görsek de bu şişelerde yüzey bir noktada kendini kestiğinden gerçek bir Klein Şişesi değildir.

Möbius Şeridi ve Klein Şişesi Arasındaki İlişki

Möbius Şeridi 3 boyutta gösterilebiliyorken Klein Şişesi 4 boyutta gösterilmektedir. Yani Klein Şişesi’nin 3 boyutlu Öklid uzayına gömülmesi mümkün değildir. Eğer 3 boyutlu Öklid uzayında göstermek istersek şişenin bir kulbu varmış gibi gözükür ve bu kulp şişeye temas ederek içinden geçer. Yani her yerde fotoğrafını görebileceğimiz, dekoratif Klein Şişesi’ne ait modeller 3 boyutludur. 4 boyutlu uzay sisteminde ise boyun bölgesi olarak tabir edilen yerdeki kesişme yoktur. Bunu da denklemlerle, şişenin farklı formlarında göstermek mümkün. Örneğin Klein Şişesi’nin 8 formu, 8 rakamının sabit bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilir ve aşağıdaki parametrelerle gösterilir.

Möbius Şeridi, dikdörtgen biçimindeki şeridin bir ucunu 180 derece ters olacak şekilde çevirip her iki ucu birleştirerek elde ediliyor. Klein Şişesi ise bir silindire aynı işlem uygulanarak elde edilmektedir. Bu geometrileri incelediğimizde, yönlendirilebilirlik ve tek taraflı yüzey kavramının önemi ortaya çıkıyor. Doğada bulunan çoğu yüzey iki taraflıdır. Bu nedenle Möbius tarafından bulunan tek taraflı yüzeyin soyut bir matematiksel yapı olduğu söylenir. Aşağıdaki görselde Klein Şişesi’ne ait geometri içinde yer alan Möbius Şeridi boyunca normal vektörler çizilerek tek taraflı yüzey kavramı vurgulanmıştır.

Görselde de görüldüğü gibi Klein Şişesi’ni ikiye böldüğümüzde birbirine bağlı iki Möbius Şeridi ortaya çıkmaktadır. Yani Klein Şişesi, 2 adet Möbius Şeridi’nin birbirine bağlanmasıyla oluşan 3 boyutlu bir Möbius Şeridi’dir.